| 목차 [1] 가장 빠른 길 찾기 1. 가장 빠르게 도달하는 방법 2. 다익스트라 최단 경로 알고리즘 방법1. 간단한 다익스트라 알고리즘 방법2. 개선된 다익스트라 알고리즘 개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도 3. 플로이드 워셜 알고리즘 [2] 예시1 - 미래 도시 [3] 예시2 - 전보 |
최단 경로
특정 지점까지 가장 빠르게 도달하는 방법을 찾는 알고리즘
[1] 가장 빠른 길 찾기
1. 가장 빠르게 도달하는 방법
한 지점에서 다른 특정 지점까지 최단 경로를 구해야 하는 경우 → 다익스트라 최단 경로 알고리즘 (그리디)
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를모두 구해야 하는 경우 → 플로이드 워셜 알고리즘 (다이나믹)
벨만 포드 알고리즘
노드를 연결하는 간선으로 그래프 표현
코딩 테스트 : 최단 경로를 모두 출력 < 단순 최단 거리만 출력
2. 다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘
한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우에 사용
cf) 다익스트라 = 데이크스트라
알고리즘 원리
- 출발 노드를 설정
- 최단 거리 테이블을 초기화
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
- 위 과정에서 3과 4번을 반복
알고리즘 구현 방법
방법1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
방법2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드 → 코드 이해하고 정확히 구현할 수 있을 때까지 숙달 시키기
다익스트라 알고리즘의 동작 원리
아래 그래프에서 1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구해보자.
step 0) 먼저 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은노드를 선택
단, 출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발노드가 선택된다.
★ 소스 코드에서 무한 이라는 값은 int(1e9)로 표현하자.
step 1) 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인하여 누적된 경로값을 갱신한다.
step 2) 가장 최단 거리가 짧은 노드인 4로 이동한다. 4번 노드와 연결된 3, 5번 노드로 가는 최소 비용은 4, 2이므로 리스트를 갱신한다.
step 3) 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같은데 이럴 때는 번호가 작은 2번 노드를 선택한다.
2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 3, 4에서 거리가 더 짧은 경우가 없으므로
(3번 노드에 도달할 때: 5 > 4 )
값이 갱신되지 않는다.
step 4) 남은 것 중에 가장 경로가 작은 5번 노드 선택. 5번에서 3, 6에 대한 최단 거리 값은 3번 노드는 2+1 = 3, 6번 노드는 2+2 = 4로 갱신된다.
step 5) 남은 3번 노드 선택 후 동일 과정 반복
step 6) 마지막 6번 노드 선택 후 동일 과정 반복
다익스트라 알고리즘은 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾을 수 있다.
방법1. 간단한 다익스트라 알고리즘
단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색) 한다.
입력 데이터가 많을 때 input( ) 보다 sys.std.readline( )을 써보자. (삼성은 sys 사용 불가)
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])
이 알고리즘은
O( V^2 )의 시간 복잡도를 가진다.
(V : 노드의 개수)
∵ 총 O(V) 번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일히 확인해야 하기 때문
따라서 노드 개수가 10,000개 넘어가면 이 코드로 문제를 해결하기 어려우므로, 아래 '개선된 다익스트라 알고리즘'을 이용해보자.
방법2. 개선된 다익스트라 알고리즘
간단한 다익스트라 알고리즘과 다른 점은
최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 get_smallest_node()라는 함수가 필요 없이 우선순위 큐로 구현한다는 것과,
방문 처리 테이블이 필요 없다는 것이다.
시간 복잡도 : 최대 O(E * logV) (V: 노드 수, E: 간선 수)
우선순위 큐를 구현하기 위하여 힙(Heap) 자료 구조를 사용하는 데에
노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을수 있다.
( 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다. )
우선순위 큐: 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 방식으로 힙 자료구조를 사용한다.
최대 힙 구조와 최소 힙 구조 중에
최소 힙 구조를 기반으로 한다.
tip) 최대 힙 구조로 변경하려면 우선 순위에 해당하는 값에 음수 부호(-) 를 붙이면 된다.
우선순위 큐를 이용한 다익스트라 알고리즘 동작 과정 살펴보기
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])
개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도
3. 플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall Algorithm)
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우 사용
| 플로이드 워셜 알고리즘 | 다익스트라 알고리즘 | |
| 쓰임 | 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우 | 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우 |
| 노드 선택 기준 | 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘 수행 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 가는 노드를 찾을 필요가 없다. |
단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택 |
| 시간 복잡도 | O(N^3) | O(N^2) |
| 리스트 | 2차원 리스트 ( 최단 거리 정보 담음) | 1차원 리스트 |
| 특징 | 다이나믹 프로그래밍 | 그리디 알고리즘 |
동작 원리
플로이드 워셜 알고리즘은 아래 처럼 점화식을 이용하는 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다.
동작 과정
플로이드 워셜 알고리즘을 구현한 코드
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == 1e9:
print("INFINITY", end=" ")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(graph[a][b], end=" ")
print()
알고리즘 성능 분석
[2] 예시1 - 미래 도시
문제
방문 판매원 A는 많은 회사가 모여 있는 공중 미래 도시에 있다. 공중 미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. 방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.
공중 미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다.
또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서의 도로는 마하의 속도로 사람을 이동시켜주기 때문에 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.
또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다. 방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다. 따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표다. 이때 방문 판매원 A는 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다.
방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오. 이때 소개팅의 상대방과 커피를 마시는 시간 등은 고려하지 않는다고 가정한다. 예를 들어 N = 5, X = 4, K = 5이고 회사 간 도로가 7개이면서 각 도로가 다음과 같이 연결되어 있을 때를 가정할 수 있다.
| (1번, 2번), (1번, 3번), (1번, 4번), (2번, 4번), (3번, 4번), (3번, 5번), (4번, 5번) |
이때 방문 판매원 A가 최종적으로 4번 회사에 가는 경로를 (1번 - 3번 - 5번 - 4번)으로 설정하면, 소개팅에서도 참석할 수 있으면서 총 3만큼의 시간으로 이동할 수 있다. 따라서 이 경우 최소 이동 시간은 3이다.
입력 조건
- 첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 ≤ N, M ≤ 100)
- 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.
- M + 2번째 줄에는 X와 K가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 ≤ K ≤ 100)
출력 조건
- 첫째 줄에 방문 판매원 A가 K번 회사를 거쳐 X번 회사로 가는 최소 이동 시간을 출력한다.
- 만약 X번 회사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.
입력 예시
| 문제 요약 판매원이 K번 회사를 지나 X번 회사에 도착하기 까지의 최단 경로는? 입력 첫번째 줄: 회사의 개수 N, 경로의 개수 M 연결된 두 회사 1대1로 쭉 나열 마지막 줄: 방문할 회사 번호인 X, K 출력 판매원이 K번 회사를 지나 X번 회사에 도착하기 까지의 최소 이동 시간 ( X번 회사에 도달할 수 없다면 -1 출력) |
문제 해설
플로이드 워셜 알고리즘으로 풀어야 하는 문제이다.
현재 문제에서 N의 범위가 100이하로 매우 한정적이다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 빠르게 풀 수 있기 때문에, 구현이 간단한 플로이드 워셜 알고리즘을 이용하는 것이 유리하다. 이 문제의 핵심 아이디어는 1번 노드에서 X를 거쳐 K로 가는 최단 거리는 (1번 노드에서 X까지의 최단 거리 + X에서 K까지의 최단 거리)라는 점이다.
최단 거리 문제는 그림으로 먼져 그려보는 것도 좋은 방법이다. 노드 간의 연결을 그림으로 표현하면 오른쪽과 같다.
| (1번, 2번), (1번, 3번), (1번, 4번), (2번, 4번), (3번, 4번), (3번, 5번), (4번, 5번) |
답안
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
a, b = map(int, input().split())
graph[a][b] = 1
graph[b][a] = 1
# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]
# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= 1e9:
print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
print(distance)
[3] 예시2 - 전보
문제
어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다. 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 도시 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다. 예를 들어 X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통로가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다.
또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.
어느 날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다. 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다. 각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지계산하는 프로그램을 작성하시오.
| 문제 요약 N개의 도시는 단뱡향 통로로 연결되어 있다. 도시 C에서 최대한 많은 도시에 메시지를 보낼 때 C로 부터 메시지를 받는 도시 개수와 모두 메시지를 받는 데 까지 걸리는 시간은? 입력 첫째 줄: 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C 특정 도시 X / 다른 특정 도시 Y / 메시지 전달되는 시간 Z 출력 도시 개수 / 걸리는 시간 |
입력 조건
- 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다. ( 1 ≤ N ≤ 30,000, 1 ≤ M ≤ 200,000, 1 ≤ C ≤ N)
- 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 X, Y, Z가 주어진다. 이는 특정 도시 X에서 다른 특정 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며, 메시지가 전달되는 시간 Z라는 의미이다. ( 1 ≤ X, Y ≤ N, 1 ≤ Z ≤ 1,000)
출력 조건
- 첫째 줄에 도시 C에서 보낸 메시지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분하여 출력한다.
입력 예시
문제 해설
한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있으므로 다익스트라 알고리즘을 이용해서 풀 수 있다.
또한 N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에, 우선순위 큐를 이용하여 다익스트라 알고리즘을 작성해야 한다. 결과적으로 앞서 다루었던 다익스트라 알고리즘의 소스코드에서 마지막 부분만 조금 수정하여 답안 코드를 만들 수 있다.
답안
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
x, y, z = map(int, input().split())
# X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
graph[x].append((y, z))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
# 도달할 수 있는 노드인 경우
if d != 1e9:
count += 1
max_distance = max(max_distance, d)
# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)
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