다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘

최단 거리 알고리즘

1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

2. 플로이드 워셜

3. 포드 알고리즘

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

하나의 정점에서 나머지 모든 정점까지의 최단 거리를 찾는 알고리즘

그리디와 DP 알고리즘이 적용된다.

 

"방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택하는 과정 반복

한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해 > 마지막 노드에 대해서는 해당노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없음. 이미 확정된 상태로 갱신 안될 거기 때문에.

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방법1. 간단한 다익스트라 알고리즘 - O(V^2)

단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)

노드 개수가 10,000개 이상이 되면 문제 해결하기 어려움

 

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방법2. 개선된 다익스트라 알고리즘 - O(ElogV)

V: 노드 갯수, E: 간선 갯수

힙 자료구조 이용: 특정 노드까지의 최단 거리 정보 넣음

 

코드

# BOJ_1753_dijkstra
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)


# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))


def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하며, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))


# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)


# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INF)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print('INF')
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

 

 

예시 문제: https://www.acmicpc.net/problem/1753

1753번: 최단경로

 

이 문제를 디익스트라 이론을 몰라서 리스트와 DP만 이용해서 푸니 다음과 같이 메모리 초과 결과가 나왔다.

# BOJ_1753
# 입력
v, e = map(int, input().split())
start = int(input())
# 가중치 그래프를 입력받는다.
graph = [[0] * (v + 1) for _ in range(v + 1)]
for _ in range(e):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c
# start 점에서 각 점까지 최단 겅로를 저장해준다.
min_paths = [-1 for _ in range(v + 1)]
min_paths[start] = 0


# start에서 v점으로 가는 경로의 수를 구한다.
def find_min_path(v):
    # 한번도 계산한 적 없다면 재귀로 계산한다.
    if min_paths[v] == -1:
        min_path = 20000 * 10
        for i in range(1, v + 1):
            if graph[i][v] != 0:
                if find_min_path(i) == 'INF':
                    continue
                min_path = min(graph[i][v] + find_min_path(i), min_path)
        if min_path == 20000 * 10:
            return 'INF'
        return min_path
    return min_paths[v]


for vertex in range(1, v + 1):
    print(find_min_path(vertex))